کانن خرچنگی باخ؛ پالیندروم یا نوار موبیوس؟

مطالعه‌ و آنالیز کانن خرچنگی باخ (Musical offering of J. S. Bach) همچون بیشترِ آثار یوهان سباستیان باخ سبب می‌‌شود تا متوجه نبوغ و پیچیدگی موجود در موسیقی او بشویم. ما با مطالعه‌ی این اثر شاهدِ استفاده از ساختارهای ریاضیاتی‌ای نظیرِ پالیندروم و نوار موبیوس هستیم که در ادامه به آن‌ها خواهیم پرداخت.

موسیقی‌ای که باخ از خویش به جای گذاشته است که در طی دو قرن و نیمِ گذشته در زمره‌ی منابع برای مطالعات و تحقیقات در دستِ موسیقیدانان قرار گرفته است؛ این مطالعات بُعدهای عمیق‌تری را برای محققین و موسیقی‌دانان نمایان می‌سازد.

هنگامی که به یک‌قطعه موسیقی گوش می‌کنیم با دنبال کردن ملودی‌ها و دیگر عناصرِ موسیقایی می‌توانیم متوجه اتفاقاتِ درحال روی دادن در جریان موسیقی بشویم این در حالیست که گاهی با پردازش بصری نوشتار موسیقی، لایه هایی دیگر از پیرنگِ آن اثر بر ما هویدا می‌شود. این شکل از برخورد با موسیقی، به ما نقشه‌ی راهی می‌دهد که اشرافمان را بر آن قطعه، دوچندان می‌کند. بد نیست که نیم‌نگاهی به این ویدیو از مجموعه‌ی پیش‌کش‌های موسیقایی باخ بیندازیم و بحث را با  کانن خرچنگیِ باخ و ارتباطش با نوار موبیوس آغاز کنیم.

Musical offering of J. S. Bach BWV1079

قطعه از ابتدا نواخته می‌شود و پس از آن  نت موسیقیِ این قطعه، برای بار دوم از انتها به ابتدا اجرا می‌شود، تا به اینجا روند طبیعی‌ای وجود دارد ولی بحث از قسمتی جالب‌تر می‌شود که یک‌صدا همزمان با معکوسِ خود نواخته می‌شود (یک صدا  از ابتدا به انتها و صدای دوم  از انتها به ابتدا). این همان لایه‌ از این کانن است که مضمونِ بحث ماست. باخ این قطعه را به گونه‌ای  به نگارش در آورده است که همزمان از هر دو سمت قابل اجرا باشد و سبب شود تا خطوط موسیقاییِ قطعه، نسبت به‌یک‌دیگر مُکمل و معکوس باشند.

پیشینه‌ی تاریخی قطعه‌ی کانن خرچنگی و پیش‌کش‌های موسیقایی باخ

در سال 1747، باخ مجموعه‌ای از قطعاتِ خود را بر اساسِ موضوعی منتشر کرد که ما اکنون آن تحتِ عنوان «پیش‌کش‌های موسیقایی» (به آلمانی: Musikalisches Opfer یا Das Musikalische Opfer)، BWV 1079، می‌شناسیم، این مجموعه‌ شاملِ کانن‌ها، فوگ‌ها و دیگر قطعات موسیقی‌ای است که به دستِ یوهان سباستین باخ نوشته شده‌اند و به فردریک بزرگ (فردریک دوم پادشاه پروس) تقدیم شده‌اند.[1] مجموعه‌ی پیشکش‌های موسیقایی باخ ریشه در ملاقات باخ و فردریک دوم در 7 مه 1747 دارد، ملاقاتی که در اقامتگاه پادشاه در پوتسدام برگزار شد[2].  باخ در این زمانه به مددِ مهارتش در بداهه‌نوازی شهرت داشت. در طیِ این بازدید پیش‌بینی‌شده‌اش، ‌تم موزیکال طولانی و پیچیده‌ای را از فردریک دریافت کرد که بر اساس آن می‌بایست یک فوگ سه صدایی را بداهه نوازی ‌‌می‌کرد او پس از این، از  فردریک درخواست کرد که یک فوگ شش صدایی را با همین موضوع  به صورت بداهه بسازد. باخ پاسخ داد که باید این اثر را پارتیتورنویسی کند و سپس آن را برای پادشاه بفرستد. یوهان‌سباستیان باخ پس از این به لایپزیگ بازگشت تا Thema Regium («موضوع پادشاه») را بنویسد و چهار ماه پس از این ملاقات مجموعه‌ی پیشکش‌های موسیقایی متولد شد. این مجموعه از جمله آثاری است که در زمانِ حیات باخ به اجرا در آمد و به انتشار رسید.

وجه تسمیه‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ی کانن خرچنگی

باخ به این قطعه‌یِ خود عنوانی نداده‌ بود و نام “canon cancrizans” – “Crab canon” – بعدها توسط دیگران نسبت به‌ این قطعه اطلاق‌شد. قطعه‌ی کانن خرچنگی در مجموعه‎‌ی « پیش‌کش‌های موسیقاییِ» جای دارد، این قطعه‌ی موسیقایی در فرم “کانن” می‌باشد؛ کانن فرمی است که در آن خطوط صدایی همدیگر را با فواصل مشخصی تقلید می‌کنند، نوع تقلید در این قطعه معکوس است به این معنا که تمامی فواصل ملودیکِ این قطعه در جهتِ مخالف تقلید شده‌است، یعنی خطوط موسیقایی‌ این قطعه به صورتی است که یک خط موسیقی همزمان با معکوس خود از آخر به اول نواخته می‌شود با توجه به این‌ توضیحات دانستیم که کانن خرچنگی (همچنین با نوشتار لاتین Canon cancrizans، همچنین کانن رتروگراد[5])، ترکیبی از دو خط ملودی است که مُکمل و عقب‌گردِ[6] یک‌دیگرند. نام کرب نیز به معنایِ “خرچنگ”  است و به این واقعیت اشاره دارد که خرچنگ‌ها می‌توانند به عقب راه بروند (اگرچه می‌توانند به سمت جلو و پهلو نیز حرکت کنند.) نکته ای که باخ در این قطعه ارائه کرد وجود دو کلید موسیقایی بر یک خط حامل است؛ یک کلید دو در جایِ معمول و متداولِ خود، و یک کلید دویِ دیگر در انتهای قطعه، بدین صورت که جایی که ما انتظار وجود دولا خطِ پایان قطعه را داریم همان کلیدِ آیینه‌وار قرار گرفته شده است.

 برای نواختنِ قطعه‌ی کانن خرچنگیِ باخ می‌بایست نتِ موسیقی را بر یک میز قرار داد و در حالی که نوازنده‌ها روبه‌روی هم می‌ایستند نتِ یکسان را از زاویه‌ی دیدِ خود بنوازند؛ در واقع نوازنده‌ی دوم برای دست یافتنِ به نتِ دوم، باید نت اول را  وارونه کند( سر و ته کردن ) با این کار نت دوم قابل مشاهده‌ و آماده‌ی نواختن خواهد بود. از این رو در این نمونه کانن‌ها علی‌رغم وجود دو خط ملودی، نیازی به نوشتن خط دوم ملودی نیست چرا که با چرخش صد و هشتاد درجه‌ی ورق نت خط ملودیِ دوم  قابل نواختن است.

کاننِ خرچنگی باخ به مثابه‌ی یک کانن معمایی

یوهان سباستیان باخ، کانن‌ خرچنگی را به صورت معما [7] منتشر کرد و اطلاعاتِ اندکی را راجع به آن در اختیارِ مخاطب قرار داد تا نوازنده‌ها پس از حل معما بتوانند قطعه را آنگونه که آهنگساز قصدش را داشته‌است اجرا کند. کانن خرچنگی نخستین کانن معمایی است و ساده‌ترین راه حل را دارد. آن راهِ حل این است که نتِ موسیقایی این قطعه‌ می‌بایست توسط یک ساز رو به‌جلو و توسط سازی دیگر از انتها و به‌سوی عقب اجرا بشود. باخ در این قطعه رویکردی را در نظر دارد که از ما می‌خواهد نسبت به این موضوع در ذهنِ خود بینشی ایجاد کنیم. بینش‌ و ذهنیتی که ما را به تصور آیینه‌ای نت‌ها و خطوط حامل می‌رساند. برای درک بهترِ این مسأله می‌توانیم روند موسیقایی قطعه را با خطوطی بر یک  نمودار مشخص کنیم تا آن خطوط سبب بشوند  که به صورت بصری فراز و نشیب قطعه را تصور کنیم، در واقع  تَصوُری که ما را در جهت داشتنِ یک نقشه‌ی ذهنی سوق می‌دهد.

برای تفهیم نمودار می‌توان به این تصویر توجه کرد، خطوط عمودی(محور Y) نشانگر زیر و بمی نت‌ها در گستره صوتی مربوط به قطعه است  و حرکتِ افقی( محور X) نمایانگر کشش زمانی نت‌ها می‌باشد‌‌، رنگ‌های آبی و قرمز مبین دو صدای متفاوت این قطعه می‌باشند. (خط آبی نمایانگرِ نت قطعه از ابتدا به انتها و خط قرمز نتِ قطعه از انتها به ابتدا را نشان می‌دهد).

با توجه کردن به فراز و نشیب‌های خطوط آبی و قرمزِ نمودار، متوجهِ قرینه بودن نمودار می‌شویم این قرینگی ما را به یک سوال نزدیک می‌کند؛ اینکه آیا قرینه بودن این خطوط موسیقایی ما را به مفهوم پالیندروم می‌رساند؟ بررسی خواهیم کرد؛ واروخوانه یا قرینه‌خوانی یا پالیندروم (Palindrome) به واژه، جمله، عدد، شعر یا هر چیز دیگری گفته می‌شود که خوانشِ آن از طرفین – چپ به راست یا از راست به چپ- کاملاً همسان باشد. ساختار این قطعه نیز به نوعی تداعی کننده‌ی پالیندروم است به این صورت که نتِ نت موسیقایی این قطعه همزمان با معکوسِ خود قابل اجراست.

بنا به گفته‌ی هافستاتر[8]، ساختار قطعه‌ی کانن خرچنگی بسیار شبیه به یک پالیندروم است، اما کاملاً یکسان نیست و تنها در حالتی که دو خط موسیقی را بدون توجه به این که نت‌هایشان از کجا آمده‌اند باهم تلفیق شوند پالیندروم شکل می‌گیرد. برای  مثالِ بیشتر برای پالیندروم  عددِ ۱۵۳۴۳۵۱ را ازهردو طرف بخوانید یکسان است و خواهید دانست که این عدد واروخوانه است، همچنین واژه‌ی «داد»  نیز از این قاعده پیروی می‌کند. واژه «Malayalam» که نام یکی از زبان‌های محلی جنوب غربی هندوستان است هم یک واژه‌ی وارونه‌خوان است.[9]

کرب کانن و نوار موبیوس

یک کاغذ را با دو وجه تصور کنید، آیا ممکن است کاغذ تنها یک وجه داشته باشد؟ با توجه به قوانینِ ریاضیات  پاسخ این سوال مثبت است. در نوار موبیوس ما با نواری از کاغذ مواجه‌ایم که تنها یک وجه دارد. در واقع نوارِ موبیوس نواری است که دو لبه آن بر هم قرار گرفته و حلقه‌ای را به وجود می‌آورد با این وجود که ساختار استوانه‌ای ندارد و یکی لبه‌ها قبل از اتصال به لبه دیگر نیم دور (صد و هشتاد درجه) چرخانده‌شده است و در این ساختار می‌توان بین هر دو نقطه از سطح این نوار، بدون قطع کردن لبه آن، خط ممتدی کشید. بنابراین نوار موبیوس فقط یک سطح و فقط یک مرز (لبه) دارد. این نوار مستقلاً و به‌طور جداگانه توسط دو ریاضیدان آلمانی به نام‌های آگوست فردینانند موبیوس و جان بندیکت در سال ۱۸۵۸ کشف و به ثبت رسید.

حال که ساختار نوار موبیوس را دانستیم بررسی می‌کنیم که کانن خرچنگی ساختاری نظیرِ نوار موبیوس دارد؟ بحث را به همان ویدیو که در ابتدای این نوشتار آن را تماشا کردید ارجاع می‌دهیم، ویدیویی که با دیدن آن ما را متوجه این مسئله می‌کند که کانن خرچنگی از ساختار نوار موبیوس تبعیت می‌کند.

برای بررسی این موضوع به شرحِ این مبحث می‌پردازیم بدین معنا که نوار موبیوس پدیده‌ای کاملاً متفاوت است و ویژگی‌هایِ تعیین کننده‌ی ‌متفاوت خود را دارد؛ یک مورد درباره‌ی نوار موبیوس این است که وقتی از یک نقطه روی خطی راست شروع به حرکت کنید مجدداً به نقطه آغاز خواهید رسید، اما وارونه.

بنابرین وقتی در نوار موبیوس ما از نقطه‌ای حرکت را آغاز می‌کنیم در انتها به جایی میرسیم که قبل از ساخت نوار موبیوس پشت صفحه بوده است. به صورت جزئی‌تر می‌توان گفت نوار موبیوس نقطه‌ی شروع را به آغازی می‌رساند که واژگونِ نقطه‌ی قبلی‌ است و این واژگونی به دلیل همان چرخش 180 درجه در نوارِ موبیوس است.

پیشتر بحث شد که یک نوازنده نت موسیقایی کانن خرچنگی را به روجلو می‌نوازد، این در حالی است که نوازنده دوم همان نت را رو به عقب اجرا می‌کند. هافستاتر این را  به مثابه‌ی یک «ویژگی تعیین کننده» برای کرب کانن می‌داند . وارونه کردن موسیقی – تبدیل تمام فواصل رو به پایین آن به فواصل رو به بالا و بالعکس – پدیده‌ای است که در برخی از کانن‌های موجود در مجموعه‌ی پیش‌کش‌های موسیقایی (مانند کانن شماره 5) دیده می‌شود که به آنها «کانن وارانه»[10] گفته‌ می‌شود اما کانن خرچنگی باخ، یک کانن وارونه نیست و مضمون خود را در هم‌زمانیِ اجرا از طرفین شروع و پایان قطعه انعکاس می‌دهد. تفاوت  کانن خرچنگی با کانن وارونه، تفاوت بین چرخاندن خط حامل موسیقی از بالا به پایین و چرخاندن آن از چپ به راست است. کانن شماره پنج از مجموعه پیشکش‌های موسیقایی از ساختار موبیوس تبعیت می‌کند ولی این تعاریف در قبالِ کاننِ خرچنگی صدق نمی‌کند!

به نظر می‌رسد که باخ «پیش‌کش‌های موسیقایی» را به عنوان “معما” ارائه کرد. تا پیش از اجرا، ابتدا ساختار قطعه به درستی درک شود و بتوان این قطعه را به شیوه‌ی صحیح اجرا کرد. وقتی ساختار مناسب پیدا شود، همه چیز کاملاً هماهنگ می‌شود. نوازندگانِ این قطعه‌ که در واقع مخاطب‌هایِ این معمای موسیقایی باخ هستند می‌بایست ساختارهای مختلف موسیقیایی را امتحان می‌کردند تا نهایتاً به تلفیقی منطقی و گوش‌نواز از هارمونی این قطعه‌ دست بیابند و همانطور که پیش‌تر  بررسی شد، نت موسیقیِ این کانن باخ  زمانی که به صورت آیینه‌وار تصور و همزمان با نت اصلی اجرا شود، معمایش حل شده‌است.

اگر محققین آثار باخ سعی می‌کردند نت را روی یک نوار موبیوس تجسم کنند پس از اقدام برای اجرای قطعه کامل بالقوه، از بی‌نتیجه بودن ایده اطمینان کسب کرده و سراغ راه دیگری می‌رفتند.چرا که این قطعه به صورتِ آینه‌وار اجرا می‌شود و نه وارانه، بنابرین ارتباطی بین این قطعه و نوار موبیوس وجود ندارد -البته این درحالی ممکن است که از وجود نوار موبیوس در سال 1750 آگاهی وجود داشته باشد چرا که نوار موبیوس به تقریب صد سال پس از نگارش این قطعه کشف و اثبات شد- از طرفی دیگر همانطور که بررسی شد قطعه‌ی کانن خرچنگی باخ رویکرد پالیندروماتیک‌ای دارد.

منابع:

• David, Hans T.; Mendel, Arthur; Wolff, Christoph (1999). The New Bach Reader. W. W. Norton. p. 224

• Rosen, Charles (18 April 1999). “Best Piano Composition; Six Parts Genius”. The New York Times.

• Gaines, James R. (2006). Evening in the Palace of Reason: Bach meets Frederick the Great in the Age of Enlightenment. Harper Perennial. pp. 9–11 Hofstadter, Douglas, 19

---

پی‌نوشت:

[1] Rosen , 1999

[2] David, 1999

[3] Gaines, 2006

[4] The Musical Offering

[5] canon per recte et retro یا canon per rectus et inversus)] – Kennedy (1994)

[6] backward

[7] puzzle canon: کانن معمایی، کاننی است در آن نت‌ها کامل نیستند و با حل شدن معمایی که آهنگساز طراحی کرده‌است نحوه اجرای صحیح قطعه مشخص شود.

[8] Hofstadter – 1979

[9] ΝΙΨΟΝ ΑΝΟΜΗΜΑΤΑ ΜΗ ΜΟΝΑΝ ΟΨΙΝ

[10] “canons by inversion”